如果说数学有点用，估计大都表现在运筹学中吧。“公平”的席位分配首先本来就是不可能的，公平一般是无法达到的，我们只是尽量降低不公平度，那么我们怎么衡量不公平度呢。就像评价一个人，有不同的指标，不公平度也是一样，这里介绍一种相对合理易于接受，且好判断的方法。
问题表述
某学校三个系部学生共200名,(甲系100,乙系60,丙系40)代表会议共20席,按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的,现因学生转系三系人数为103、63、34。
- 问20席该如何分配 ?
- 若增加21席又如何分配 ?
显然，因为无法整除无论如何分配都不公平。下面说一下几种策略。
- 按班级人数比例乘以总人数，小数点大的分得多余的一个位子。
| 某校 | 甲系 | 乙系 | 丙系 |
|---|---|---|---|
| 共200人 | 103 | 63 | 34 |
| 人数比例 | 51.3 | 31.5 | 17 |
| 20席位 | 10.3 | 6.3 | 3.4 |
| 实际分配 | 10 | 6 | 4 |
| 21席位 | 10.82 | 6.62 | 3.57 |
| 实际分配 | 11 | 7 | 3 |
按照上述方法，会出现席位增多而丙系的席位却减少了一个的不合理现象，说明此方法并不合理。
模型建立
假设由A、B两个单位公平分配席位的情况，设两方人数$p_1,p_2$ ,分配到的席位为 $n_1,n_2$。
- $\frac{p_1}{n_1} = \frac{p_2}{n_2}$ 公平，但是一般是不满足的。
- $\frac{p_1}{n_1} > \frac{p_2}{n_2}$ 对A不公平。
- $\frac{p_1}{n_1} < \frac{p_2}{n_2}$ 对B不公平。
绝对不公平度为
$$ d = \left| \frac{p_1}{n_1} - \frac{p_2}{n_2} \right| $$
但这样做还是有不足，例如
某两个单位的人数和席位为 $n_1=n_2=10,p_1=120,p_2=100$ 算得 $d=2$.
另两个单位的人数和席位为 $n_1=n_2=10,p_1=1020,p_2=1000$ 算得 $d=2$。
但是显然，后一种方案，更公平。
因此，我们引入相对不公平度
- 若 $\frac{p_1}{n_1} > \frac{p_2}{n_2}$ 则
$$ r_A(n_1,n_2) = \frac{ \frac{p_1}{n_1} - \frac{p_2}{n_2} }{ \frac{p_2}{n_2} }$$ - 若 $\frac{p_1}{n_1} < \frac{p_2}{n_2}$
$$ r_B(n_1,n_2) = \frac{\frac{p_2}{n_2} - \frac{p_1}{n_1} }{\frac{p_1}{n_1}}$$
我们的目标是让$r_A,r_B$(每种分配只会有一个)最小。
确定分配方案
假设当前 $\frac{p_1}{n_1} > \frac{p_2}{n_2}$ 对A不公平。新增了一个席位。
- 若 $\frac{p_1}{n_1+1} > \frac{p_2}{n_2}$ 则A加1席
- 若 $\frac{p_1}{n_1+1} < \frac{p_2}{n_2}$
若分配给A，则对B的不公平值(相对):
$$ r_B(n_1+1,n_2) = \frac{p_2(n_1+1)}{p_1 n_2} -1 $$
若分配给B，则对A的不公平值(相对):
$$ r_A(n_1,n_2+1) = \frac{p_1(n_2+1)}{p_2 n_1} -1 $$
若$r_A(n_1,n_2+1)<r_B(n_1+1,n_2)$则席位分配给B，反之给A。
即令
$$ Q_i = \frac{p_i ^2}{n_i(n_i+1)}$$
将席位分配给 $Q$ 值较大者。
模型求解
先按照平均原则取整之后。分出了19席：$n_1=10,n_2=6,n_3=3$
第20席:
$$ Q_1 = \frac{103^2}{10 \times 11 } = 96.4 \; , \;Q_2 = \frac{63^2}{6 \times 7} = 94.5 \; , \;Q_3 = \frac{34^2}{3 \times 4} = 96.3 $$
则分配：$n_1=11,n_2=6,n_3=3$
第21席：$Q_1=80.4, Q_2 = 94.5, Q_3 = 96.3$
则分配：$n_1=11,n_2=6,n_3=4$.