虽然我们从小学就开始学习自然数，但是自然数的真正严格的定义归功于1889年Giuseppe Peano 的工作。介绍如下:
自然数的定义
我们把满足如下公理的集合叫做自然数 $\mathbb{N}$。
$\mathbb{N}$ 中包含一个特殊元素记作 $0$, 以及一个 $\mathbb{N}$ 到自身的映射 $a \mapsto a^+$，称为后继映射。
满足如下 Peano 公理:
- $0 \notin a^+$ 对任意 $a \in \mathbb{N}$ ；
- $a \mapsto a^+$ 是单射；
- 若 $\mathbb{N}$ 的一个子集 $A$ 包含 $0$ 以及它的任何后继元素，则 $A=\mathbb{N}$。
上面的公理3是我们常用数学归纳法的依据。下面介绍一个特别重要的定理。
归纳定理: 设 $S$ 是一个集合，$\phi$ 是 $S$ 到自身的映射， $a\in S$。则存在唯一的映射 $f \colon \mathbb{N} \to S$ 使得
$$ f(0) = a, \qquad f(n^+) = \phi(f(n)), n \in \mathbb{N} $$
证明: 设
$$ \Lambda ＝ \lbrace U \subset \mathbb{N} \times S \colon (0,a)\in U\; | \; \mbox{ if } (n,b) \in U, \mbox{ then } (n^+,\phi(b)) \in U \rbrace$$
显然 $\mathbb{N} \times S \in \Lambda$ ，因此 $\Lambda \neq 0$ ,设 $f ＝ \cap_{U \in T} U$ ，下面证明 $f$ 即为所求。
由归纳 $\forall a \in \mathbb{N}, \exists b \in S$ 使得 $(n,b) \in f$ ，因此我们只需证明，若$(n,b),(n,b’) \in f$ 则 $b = b’$。令 $T=\lbrace n \in \mathbb{N} \;|\; (n,b),(n,b’) \in f \Rightarrow b=b’ \rbrace$,我们只需证明 $T = \mathbb{N}$。
首先 $0 \in T$ ，否则 $\exists a \neq a’$ 使得 $(0,a), (0,a’) \in f$ 。设 $f’$ 为 $f \setminus \lbrace (0,b’) \rbrace$ 易知 $f’ \in \Lambda$ 矛盾于 $f$ 的定义。
类似的 若$r \in T$，可证 $r^+ \in T$ 否则 $\exists c \neq \phi(r) $ 使得 $(r^+,c) \in T$ 设 $f’ = f \setminus \lbrace (r^+,c) \rbrace$ 则 $f’ \in \Lambda$ 矛盾于 $f$ 的定义。
假设 $g$ 也满足上述条件，则 $g \in \Lambda$ 因此 $f \subset g$ 但是对于两个映射 $f \subset g$ 可知 $f = g$ 证毕。
注: 以上的函数用”图像“的方式给出。
有了上面的 归纳定理 我们就可以定义自然数的加法和乘法了，注意定义永远是数学最重要的东西。
加法乘法的定义
两个自然数 $m,n$ 的加法被定义为 令 $a=m$ 和 $\phi \colon n \mapsto n^+$ ,则存在唯一的 $f_m$ 使得
$$ 0 + m = m \qquad n^+ + m = (n+m)^+ $$
对于乘法，令 $a=0$ 和 $\phi \colon n \mapsto n＋m$ ,则存在唯一的 $g_m$ 使得
$$ 0m = 0 \qquad n^+ m = nm + m $$
可以证明(其实蛮繁琐的)这样定义的加法满足我们平常所使用的各种法则，例如结合律，交换律等等性质。
下面看一下加法结合率的证明（书上并没有，自己补的）
- 由加法定义可知 $(0+y)+z = y+z = 0+(y+z)$
- 若问题对 $x$ 成立则，$(x^+ +y)+z = (x+y+z)^+ = x^+ +(y+z)$
因此由公理3知 上式对任意的$x \in \mathbb{N}$ 成立，证毕。
自然数的序关系
称 $a \geq b$ 若存在 $x \in \mathbb{N}$ 使得 $a = b+x$。
显然有以下简单性质
- $x \geq y$ 且 $y \geq x$ 则 $x = y$
- $x \geq y$ 且 $y \geq z$ 则 $x \geq z$
- $\forall (x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ $x \geq y$ 和 $y \geq x$ 至少有一个成立。
因此上述定义，定义了一个自然数集上的良序关系。另外自然数关于这种序关系有一个广为人知的结论。
最小元性质
$\mathbb{N}$ 的任何非空子集 $S$ 存在最小值。即 $\exists l \in S$ 使得 $\forall s\in S, s \geq l$。
证明：设 $M = \lbrace m in \mathbb{N} \;|\; \forall s \in S, s \geq m \rbrace$ 。则 $0 \in M$ 且若 $s_0 \in S$ 则 $s_0^+ \notin M$。因此 $M \neq \mathbb{N}$. 因此由归纳法，存在 $s \in M, s^+ \notin M$ 上述 $s$ 即为所求。
按照公理化定义的自然数的性质验算其实还是很有意思的，虽然验算了也并没有什么屌用。另外知道了自然数的公理化体系也并没有什么屌用0.0
另外也有人将自然数写成
$$ 0 \equiv \emptyset, 1 equiv \lbrace \lbrace \emptyset \rbrace \emptyset \rbrace,\cdots n^+ \equiv \lbrace \lbrace \emptyset \rbrace \emptyset \rbrace $$
以上内容来自 Nathan Jacobson 《Basic Algebra》。