Hahn-Banach 延拓定理

发表于 |

Hahn-Banach 延拓定理通常分为分析和几何的形式，其中几何形式通常称为凸集分离性定理。

Hahn-Banach 延拓定理的分析形式

定义1 设 $X$ 是线性空间，$p \colon X \to \mathbb{R}$ 是一个泛函，若 $p$ 满足

  1. $p(x+y) \leq p(x)+p(y)$ 则称 $p$ 在 $X$ 上是次可加的，若
  2. $p(tx)=tp(x),\; \forall x \in X,t \geq 0$ 则称 $p$ 在 $X$ 上是正齐次的，若 $p$ 满足1和
  3. $p(ax)=|a|p(x),\; \forall x \in X, a \in \Phi $ 则称 $p$ 是 $X$ 上的半范数。

定理1 (实情形) 设 $X$ 是实线性空间， $p \colon X \to \mathbb{R}$是正齐性次可加泛函，$Y$ 是 $X$ 的线性子空间。若 $f_0 \colon Y \to \mathbb{R}$ 是 $Y$ 上的线性泛函，满足
$$ f_0(x) \leq p(x),\; \forall x \in Y $$
则 $X$ 上存在线性泛函 $f \colon X \to \mathbb{R}$使得
$$ f|_Y = f_0 ,f(x) \leq p(x),\; \forall x \in X $$

证明: 设 $x_0 \in X \setminus Y$ 记 $ \widetilde{Y} = span\lbrace x_0,Y\rbrace$,首先将 $Y$ 延拓到 $\widetilde{Y}$ 再利用Zorn引理延拓完成整个证明。
$$ f(x) + f(y) =f(x+y) \leq p(x+y) \leq p(x-x_0) + p(x_0+y),\; \forall x,y \in Y $$
因此
$$ f(x) - p(x-x_0) \leq p(x_0+y) - f(y) $$
我们记 $ \alpha \equiv \inf_{y \in Y} p(x_0+y) - f(y)$，则
$$ f(x) - \alpha \leq p(x - x_0) ,\; f(y) + \alpha \leq f(y+x_0) ,\; \forall x,y \in Y$$
在 $\widetilde{Y}$ 上定义 $ f(tx_0 +y) = t \alpha + f_0(y) $ 显然 $f$ 是 $\widetilde{Y}$ 上的线性泛函且是 $f_0$ 的延拓且满足 $f(x) \leq p(x)$。
根据延拓关系建立偏序关系，用Zorn引理即知定理1成立

定理2 (复情形) 设 $X$ 是复线性空间， $p \colon X \to \mathbb{R}$是 $X$ 上的半范数，$Y$ 是 $X$ 的线性子空间。若 $f_0 \colon Y \to \mathbb{C}$ 是 $Y$ 上的线性泛函，满足
$$ |f_0(x)| \leq p(x),\; \forall x \in Y $$
则 $X$ 上存在线性泛函 $f \colon X \to \mathbb{C}$使得
$$ f|_Y = f_0 ,|f(x)| \leq p(x),\; \forall x \in X $$

证明: 考虑实部应用定理1，可以证明定理2. 取 $u = \Re{f_0}$ 则，由定理1，$u$ 可以延拓到 $X$ 上得到实线性泛函 $U$ 使得 $U(x) \leq p(x) ,\; \forall x \in X$ 。定义 $f(x) = U(x) - iU(ix),\; \forall x \in X$ 任意验证 $f$ 即为所求。

推论1 设 $X$ 是赋范空间，$x_0 \in X$,则存在连续线性泛函 $f$ 满足 $f(x_0) = ||x_0|| ,||f|| = 1$.
推论2 设 $Y$ 是赋范空间 $X$ 的真闭子空间， 则存在连续线性泛函 $f$ 满足

  1. $f(y) = 0,y \in Y$,
  2. $f(x) = dist(x,Y)$
  3. $||f|| = 1$

推论3 设 $X$ 是赋范空间，$x_0,y_0 \in X, x_0 \neq y_0$ ，则存在连续线性泛函 $f$，使得 $f(x_0) \neq f(y_0)$

Hahn-Banach 延拓定理的几何形式

定理3 设 $X$ 是拓扑线性空间， $X^{* }$ 表示其上连续线性泛函全体，$A,B \subset X$ 是非空凸集。

  1. 若 $A^{o} \neq \emptyset, A^{o} \cap B = \emptyset$ 则 $\exists f \in X^{* },f \neq 0$ 使得
    $$ \Re f(x) \leq \Re f(y),\; \forall x \in A,y \in B. $$
  2. 若 $A$ 是开集，$A \cap B = \emptyset$, 则 $\exists f \in X^{* },r \in \mathbb{R}$ 使得
    $$ \Re f(x) < r \leq \Re f(y),\; \forall x \in A,y \in B. $$
    若B也是开集，则可使右端不等式严格成立。
  3. 若空间 $X$ 是局部凸的，$A$ 是紧集，$B$ 是闭集，$A \cap B = \emptyset$ 则 $\exists f \in X^{* },r_1,r_2 \in \mathbb{R}$ 使得
    $$ \Re f(x) \leq r_1 < r_2 \leq \Re f(y),\; \forall x \in A,y \in B. $$
  4. 若空间 $X$ 是局部凸的，$A$ 是平衡开集，$A \cap B = \emptyset$ 则 $\exists f \in X^{* },r \in \mathbb{R}$ 使得
    $$ |f(x)| < r \leq |f(y)|, \; \forall x \in A,y \in B $$

证明: 由于复线性泛函 $f$ 可以写成 $f(x) = \Re f(x) - i \Re f(ix)$ ,我们不妨假设 $X$ 是实空间，否则先将复空间视作是空间，得出实线性泛函，然后根据上式构造$X$上的复线性泛函，并不为影响上面的结论。

  1. 不妨假定(线性泛函平移一下) $0 \in A^{o}$，取 $x_0 \in B$,令 $C = A^{o} - B + x_0$ 则 $C$ 是开凸集，$x_0 \notin C$。若$\mu_C$是$C$的 Minkovski 泛函(是正齐次次可加泛函)，则$\mu_C(x_0) \geq 1$ 定义
    $$ M = \lbrace t x_0 \colon t \in \mathbb{R} \rbrace , f_0(t x_0) = t$$
    在 $M$ 上 $f_0(t x_0) = t \leq t\mu_C(x_0) \leq \mu_0(t x_0)$ 由定理1知，存在线性泛函 $f \colon X \to \mathbb{R}$ 使得
    $$ f|_M = f_0 ,f(x) \leq \mu_C(x),\; \forall x \in X $$
    注意到在$C \cap (-C)$ 上
    $$ \pm f(x) = f(\pm x) \leq \mu_C (\pm x) \leq 1$$
    易知 $f$ 连续。
    当 $x \in A^{o},y \in B$ 时 $x-y+x_0 \in C$,因此
    $$f(x-y+x_0) \leq \mu_C(x-y+x_0) \leq 1$$
    因此 $f(x) < f(y)$,又对于凸集$A$ 有$ \overline{A^{o}} = \overline{A}$，所以 $f(x) \leq f(y),\; \forall x \in A ,y \in B$.
  2. 对上述 $f$ 记 $r = \inf_{y \in B} f(y)$,若 $A$ 是开集，则有 $f(x) \leq r, \forall x \in A$，否则设 $x_0 \in A,f(x_0) = r$.因为 $A$ 是开集，因此存在 $z \in X$ 使得$x_0 \pm z \in A,f(z) \neq 0$.于是 $f(x_0 \pm z) = r \pm f(z)$矛盾，同理 $B$ 为开集时，右端也是严格的。
  3. 当 $A$ 紧，$B$ 闭时，取凸邻域 $V \in N(0)$，使得$ (A+V) \cap B = 0 $ ，由1，存在 $f \in X^{* },r \in \mathbb{R}$ 使得
    $$ \Re f(x) < r \leq \Re f(y),\; \forall x \in A+V,y \in B. $$
    记 $r_1 = \sup_{x \in A} f(x),r_2 =\inf_{y \in B} f(y)$.因为 $A$ 是紧集，因此 r_1 必然可达到，此时必有 $r_1 \leq r_2$，否则又会出现类似于2的矛盾。
  4. 根据2，存在$f \in X^{* },r>0$ 使得
    $$ \Re f(x) < r \leq \Re f(y),\; \forall x \in A,y \in B. $$
    由于 $A$ 是平衡集，故 $x \in A$ 当且仅当 $e^{-i \theta}x \in A, \theta \in \mathbb{R}$,特别的取 $\theta = \arg f(x)$ 则
    $$ |f(x)| = e^{-i \theta}f(x) = f(e^{i \theta}x) = \Re f(e^{i \theta}x) < r $$
    这是我们要的不等式左边，右边直接由 $\Re f(y) \leq |f(y)|$ 得到,证毕。

欢迎访问和评论 http://dna049.com