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Cayley-Hamilton定理

大一学了矩阵之后,一直很喜欢它,因为它形式简洁优美,又不缺乏技巧,是抽象和具体的桥梁,又有其实用性,成为现代数学最基础的工具之一。个人认为,矩阵中最优美的定理非Cayley-Hamilton定理(矩阵的特征多项式是它的一个化零多项式)莫属了。详细表述和证明如下:

n阶矩阵A的特征多项式为:
ϕ(λ)=det(λIA)=anλn+an1λn1++a1λ+a0

λIA的伴随矩阵为B,则B中元素为关于λ的次数小于n的多项式,不妨设
B=λn1Bn1+λn2Bn2++λB1+B0

所以
(λIA)B=λnBn1+λn1(Bn2ABn1)++λ(B0AB1)AB0
又因为B是A的伴随矩阵,我们有(λIA)B=det(λIA)I

比较系数得到
{Bn1=anIBn2ABn1=an1IB0AB1=a1IAB0=a0I
对上式分别左乘An,An1,,A,I得到:

{AnBn1=anAnAn1Bn2AnBn1=an1An1AB0A2B1=a1AAB0=a0I

再将上式相加得到最终结果

ϕ(A)=anAn+an1An1++a1A+a0I=0

上述定理优美在于从形式上,ϕ(λ)=det(λIA)λ=A带入恰好也是0(注意数字0和零矩阵的差别),虽然说这样做是完全没有道理。作为直接推论我们知道,一个n阶方阵的任何次方都可以被它的不超过n次的幂线性表出。