大一学了矩阵之后,一直很喜欢它,因为它形式简洁优美,又不缺乏技巧,是抽象和具体的桥梁,又有其实用性,成为现代数学最基础的工具之一。个人认为,矩阵中最优美的定理非Cayley-Hamilton定理(矩阵的特征多项式是它的一个化零多项式)莫属了。详细表述和证明如下:
n阶矩阵A的特征多项式为:
ϕ(λ)=det(λI−A)=anλn+an−1λn−1+⋯+a1λ+a0
设λI−A的伴随矩阵为B,则B中元素为关于λ的次数小于n的多项式,不妨设
B=λn−1Bn−1+λn−2Bn−2+⋯+λB1+B0
所以
(λI−A)B=λnBn−1+λn−1(Bn−2−ABn−1)+⋯+λ(B0−AB1)−AB0
又因为B是A的伴随矩阵,我们有(λI−A)B=det(λI−A)I
比较系数得到
{Bn−1=anIBn−2−ABn−1=an−1I⋯B0−AB1=a1I−AB0=a0I
对上式分别左乘An,An−1,⋯,A,I得到:
再将上式相加得到最终结果
ϕ(A)=anAn+an−1An−1+⋯+a1A+a0I=0上述定理优美在于从形式上,ϕ(λ)=det(λI−A)取 λ=A带入恰好也是0(注意数字0和零矩阵的差别),虽然说这样做是完全没有道理。作为直接推论我们知道,一个n阶方阵的任何次方都可以被它的不超过n次的幂线性表出。