Cayley-Hamilton定理

大一学了矩阵之后,一直很喜欢它，因为它形式简洁优美，又不缺乏技巧，是抽象和具体的桥梁，又有其实用性，成为现代数学最基础的工具之一。个人认为，矩阵中最优美的定理非Cayley-Hamilton定理（矩阵的特征多项式是它的一个化零多项式）莫属了。详细表述和证明如下：

n阶矩阵A的特征多项式为：
$$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0$$

设$\lambda I - A$的伴随矩阵为B，则B中元素为关于$\lambda$的次数小于n的多项式，不妨设
$$B = \lambda^{n-1} B_ {n-1} + \lambda^{n-2} B_ {n-2} + \cdots + \lambda B_1 + B_0$$

所以
$$(\lambda I - A)B = \lambda^n B_ {n-1} + \lambda^{n-1} (B_ {n-2} - AB_ {n-1}) + \cdots + \lambda (B_0 - AB_1) - AB_0$$
又因为B是A的伴随矩阵，我们有$(\lambda I - A)B = det(\lambda I - A) I$

比较系数得到
$$\left\{ \begin{array}{l} B_ {n-1} = a_n I \\ B_ {n-2} - AB_ {n-1} = a_{n-1} I \\ \cdots \\ B_0 - AB_1 = a_1 I \\ -AB_0 = a_0 I \end{array} \right.$$
对上式分别左乘$A^n,A^{n-1},\cdots,A,I$得到：

$$\left\{ \begin{array}{l} A^n B_ {n-1} = a_n A^n \\ A^{n-1} B_ {n-2} - A^n B_ {n-1} = a_{n-1} A^{n-1} \\ \cdots \\ A B_0 - A^2 B_1 = a_1 A \\ -AB_0 = a_0 I \end{array} \right.$$

再将上式相加得到最终结果

$$\phi(A)= a_ n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I = \mathbf{0}$$

上述定理优美在于从形式上，$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A)$取 $\lambda = A$带入恰好也是0（注意数字0和零矩阵的差别），虽然说这样做是完全没有道理。作为直接推论我们知道，一个n阶方阵的任何次方都可以被它的不超过n次的幂线性表出。