大一学了矩阵之后,一直很喜欢它，因为它形式简洁优美，又不缺乏技巧，是抽象和具体的桥梁，又有其实用性，成为现代数学最基础的工具之一。个人认为，矩阵中最优美的定理非Cayley-Hamilton定理（矩阵的特征多项式是它的一个化零多项式）莫属了。详细表述和证明如下：
n阶矩阵A的特征多项式为：
$$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A) = a_n \lambda^n +
a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0$$
设$\lambda I - A$的伴随矩阵为B，则B中元素为关于$\lambda$的次数小于n的多项式，不妨设
$$B = \lambda^{n-1} B_ {n-1} + \lambda^{n-2} B_ {n-2}
+ \cdots + \lambda B_1 + B_0$$
所以
$$(\lambda I - A)B = \lambda^n B_ {n-1} + \lambda^{n-1} (B_ {n-2} - AB_ {n-1})
+ \cdots + \lambda (B_0 - AB_1) - AB_0$$
又因为B是A的伴随矩阵，我们有$(\lambda I - A)B = det(\lambda I - A) I$
比较系数得到
$$\left\{
\begin{array}{l}
B_ {n-1} = a_n I \\
B_ {n-2} - AB_ {n-1} = a_{n-1} I \\
\cdots \\
B_0 - AB_1 = a_1 I \\
-AB_0 = a_0 I
\end{array} \right.$$
对上式分别左乘$A^n,A^{n-1},\cdots,A,I$得到：
再将上式相加得到最终结果
$$\phi(A)= a_ n A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I = \mathbf{0}$$上述定理优美在于从形式上，$\phi(\lambda)=det(\lambda I - A)$取 $\lambda = A$带入恰好也是0（注意数字0和零矩阵的差别），虽然说这样做是完全没有道理。作为直接推论我们知道，一个n阶方阵的任何次方都可以被它的不超过n次的幂线性表出。