自然数方幂和公式

关于自然数方幂和公式,网上的求解版本有很多种。这里介绍一种不为人知,十分简洁明了的求解方法,该公式并非原创,但是整个证明过程和方法完全原创。它的思想来源于我高中时在一本数学竞赛书中的数列例题(书名忘了…),正因为一本本这样的书,让我大学选择了数学系,现在依然在学习数学。

若 $a_n = n(n-1)$ 求其前 $n$ 项和$S_n$

$$a_n = n(n-1) = \frac{(n+1)n(n-1) -n(n-1)(n-2)}{3}$$

所以
$$S_n = \frac{(n+1)n(n-1)}{3}$$

$a_n = A_n ^p$,则其前 $n$ 项和$S_n = \frac{ A_{n+1} ^{p+1}}{p+1}$

$$a_n = A_n ^p = \frac{A_{n+1} ^{p+1} -A_n ^{p+1}}{p+1}$$

所以
$$S_n = \frac{A_{n+1} ^{p+1}}{p+1}$$

由上面的结论下面我们来直对主题。

求 $1^2+2^2+ \dots + n^2$


$$ n^2 = n(n-1) + n $$

$$1^2+2^2+ \dots + n^2 = \frac{(n+1)n(n-1)}{3} + \frac{(n+1)n}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

求$1^p+2^p+ \dots + n^p$


$$n^p = a_p A_n ^p + a_{p-1} A_n ^{p-1} + a_{p-2} A_n ^{p-2} + \cdots + a_1 A_n ^1$$

$$1^p+2^p+ \dots + n^p = \frac{a_p A_{n+1} ^{p+1}}{p+1} + \frac{a_{p-1} A_{n+1} ^{p}}{p} + \cdots + \frac{a_1 A_{n+1} ^2}{2}$$
因此问题的关键就转化成如何求解数组 $a_k ,k=1,2,\cdots,p$
我们发现当 $n=k$ 时成立
$$k^p = a_k A_k ^k + a_{k-1} A_k ^{k-1} + \cdots a_1 A_{k} ^1$$
令 $b_k = k! \cdot a_k$ 则
$$k^p = b_k + b_{k-1} C_k ^{k-1} + \cdots b_1 C_{k} ^1$$

$$k^p = \sum _{j=1} ^k b_j C _{k} ^j$$
应用二项式反演知(可参考我的博文
$$b_k = \sum _{j=1} ^k (-1)^{k-j} C _{k} ^j j^p$$
因此最终,我们有公式

$$1^p+2^p+ \dots + n^p = \sum _{k=1} ^p \; (\; \sum_{j=1} ^ {k} (-1)^{k-j} C_k^j j^p \;) \; C _{n+1} ^{k+1}$$

改博文由作者(dna0.49)原创于2016年1月21号,转载或引用请注明http://dna049.com