矩阵快速幂的应用 hdu 1588

发表于 |

在一个半群中，$a^n$ 的运算可以使用快速幂，即在不超过 $2log_2(n)$ 的运算下完成计算。

直接用一个实例 hdu1588 Gauss Fibonacci 即可体现其思想。

问题

设 f 是 Fibonacci 数列满足：

  1. $f(0)=0$
  2. $f(1)=1$
  3. $f(n)=f(n-1)+f(n-2) ,\; n \geq 2$

求 Gauss Fibonacci 问题
$$ \sum_{i=0}^{n-1} f(k*i+b) $$

求解

令 $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] $ 则
$$ \left( \begin{matrix} f(n+1) \\ f(n) \end{matrix} \right) = A \left( \begin{matrix} f(n) \\ f(n-1) \end{matrix} \right) = A^n \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $$
于是求解 $f(n)$ 可转化为求解 $A^n$ 另外 Gauss Fibonacci 问题可转化为求解
$$ A^b \cdot \sum_{i=0}^{n-1} A^{ki} $$

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
//#pragma comment(linker,"/STACK:10240000,10240000")
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <bitset>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<LL,LL> PLL;
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define lrt rt<<1
#define rrt rt<<1|1
#define lson l,m,lrt
#define rson m+1,r,rrt
/*------ Welcome to visit blog of dna049: http://dna049.com ------*/
LL mod;
class Matrix{
public:
    const static int N = 2; //col
    LL a[N][N];
    Matrix(LL a00=0,LL a01=0,LL a10=0,LL a11=0){
        a[0][0]=a00;a[0][1]=a01;
        a[1][0]=a10;a[1][1]=a11;
    }
    Matrix operator+(const Matrix& A)const{
        Matrix R;
        for(int i=0;i<N;++i){
            for(int j=0;j<N;++j){
                R.a[i][j]=a[i][j]+A.a[i][j];
                if(R.a[i][j]>=mod)   R.a[i][j]-=mod;
            }
        }
        return R;
    }
    Matrix operator*(const Matrix& A)const{
        Matrix R;
        for(int i=0;i<N;++i){
            for(int k=0;k<N;++k){
                for(int j=0;j<N;++j){
                    R.a[i][j] = (R.a[i][j]+a[i][k]*A.a[k][j])%mod;
                }
            }
        }
        return R;
    }
};
Matrix pow(Matrix A,LL n){
    Matrix R(1,0,0,1);
    while(n){
        if(n&1) R=R*A;
        n>>=1;  A=A*A;
    }
    return R;
}
Matrix getsum(Matrix A,LL n){
    Matrix R(1,0,0,1),X(1,0,0,1);
    while(n){
        if(n&1) R=(R+X*pow(A,n));
        n>>=1;  X=X*(Matrix(1,0,0,1)+pow(A,n));
    }
    return R;
}
int main(){
//    freopen("/Users/dna049/Desktop/AC/in","r",stdin);
//    freopen("/Users/dna049/Desktop/AC/out","w",stdout);
    int k,b,n,m;
    while(~scanf("%d%d%d%d",&k,&b,&n,&m)){
        mod = m;
        Matrix A(1,1,1,0);
        Matrix R = pow(A,b)*getsum(pow(A,k),n-1);
        cout<<R.a[1][0]<<endl;
    }
    return 0;
}