有限整环是域，这是一个相当深刻的结论，该定理这叫 Wedderburn’s little theorem。介绍如下。
有限整环是体
设 $D$ 是有限整环（不要求交换），下证 $D$ 是体。
证明：对任意 $0 \neq a \in D$，考虑 $a,a^2,a^3,..,a^n,…$ 由于 $D$ 是有限环，因此存在 $n,r > 0$ 使得 $a^{n+r} = a^n$ 即 $a^n(a^r-1)=0$ 由于 $D$ 是整环，$a \neq 0$，因此 $a^r =1$ ，所以 $a$ 可逆，证毕。
有限体是域
设 $K$ 是有限体。$Z$ 是它的中心，即
$$ Z = \lbrace z \in K \;|\; \forall x \in K, xz = zx \rbrace $$
则，$Z$ 是域。令 $|Z|=q$，则 $K$ 是 $q$ 元域上的有限维向量空间，设维数为 $n$，则 $|K|=q^n$。我们需要证明 $K=Z$, 即证明 $n=1$。
对任意 $a \in K$，令 $N(a) = \lbrace x \in K \;|\; ax = xa \rbrace$ ，这显然是 $K$ 的一个子体。并且包含 $Z$。因此 $N(a)$ 也是 $Z$ 上的有限维向量空间。从而 $N(a)=q^{n(a)},n(a) \geq 1$。由于 $K^{*}$ 为 $q^n-1$ 阶乘法群，$N(a)^{*}$ 为 $K^{*}$ 的 $q^{n(a)}-1$ 阶子群，因此 $q^{n(a)}-1 \;|\; q^n-1$，因此 $n(a)|n$。
将乘法群 $K^{*}$ 中的元素分成共轭类，从群论的角度，与 $a \in K^{*}$ 共轭的元素有 $[K^{*} :N(a)^{*}] = \frac{q^n-1}{q^{n(a)}-1}$，从而每个共轭类取一次，我们有
$$ q^n - 1 = q-1 + \sum_{n(a)|n ,n(a)\neq n} \frac{q^n-1}{q^{n(a)}-1} $$
我们需要证明的是当 $n>1$ 时上式不成立。为此我们先介绍分圆多项式的知识。
$$ P_n(x) = \prod_{1 \leq r \leq n,(r,n)=1} (x-e^{\frac{2 \pi i r}{n}}) $$
即 $P_n(x)$ 是以全部 $n$ 次本原单位复根（共 $\phi(n)$ 个）为根的首一多项式。易知
$$ x^n -1 = \prod_{d|n} P_d(n) $$
由数论函数的Mobius 变换，再取指数即可知
$$ P_n(x) = \prod_{d|n} (x^d-1)^{\mu(n/d)} $$ 于是 $P_n(x)=f(x)/g(x)$ 其中 $f(x),g(x)$ 都为 $\mathbb{Z}[x]$ 中的首一多项式。另一方面，按照定义，$P_n(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，从而在 $\mathbb{C}[x]$ 中 $g(x) \;|\; f(x)$。比较系数易知，$P_n(x)$ 为 $\mathbb{Z}[x]$ 中首一多项式。
因为对任意 $d\;|\;n,0<d<n,P_n(x)$ 的每个根都是 $x^n-1$ 的根，但不是 $x^d-1$ 的根，从而
$$ P_n(x)|\frac{x^n-1}{x^d-1} $$
因此 $P_n(q)\;|\;q-1$, 但当 $n>1$ 时，
$$|P_n(q))| > (q-1)^{\phi(n)} \geq q-1 $$
矛盾，证毕。
上面定理是极其深刻的，这个定理也可以这么表达，一个有限环，如果它不是域，那么它必然存在零因子。