矩阵的Jordan分解

最近在整理 Lie Algebra 内容时,里面提到了Jordan分解,这里就详细介绍并证明几个相关结果。

  1. 若矩阵 $A,B$ 可交换,则它们有公共特征向量。
  2. 若矩阵 $A,B$ 可以对角化,则它们可以同时对角化,当且仅当 $A,B$ 交换
  3. 每一个矩阵 $A$ 都可以唯一分解成 $A=B+C$, 其中 $B$ 可对角化,$C$ 幂零。且 $B,C$ 都可以写成 $A$ 的无常数项的多项式。

下面证明这三个结果并给出说明其意义。

若矩阵 $A,B$ 可交换,则它们有公共特征向量。

证明:我们设 $V$ 为 $n$ 阶列向量全体。设 $\lambda$ 为 $B$ 的一个特征值。设
$$W = \lbrace x \in V \;|\; Bx = \lambda x \rbrace $$
则对任意 $x \in W$,
$$B(Ax) = A(Bx)=A(\lambda x)=\lambda(Ax)$$
即 $Ax \in W$。即 $W$ 是 $A$ 的不变子空间,因此,$A$ 在 $W$ 中有特征值 $\mu$ 对应的特征向量 $v$ 即为所求。

若矩阵 $A,B$ 可以对角化,则它们可以同时对角化,当且仅当 $A,B$ 交换.

证明:$\rightarrow$ 是显然的。现证 $\leftarrow$ 若 $A,B$ 交换。
由条件知,存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s})$。由 $A,B$ 交换知,$P^{-1}AP P^{-1}BP = P^{-1}BP P^{-1}AP$。因此
$$P^{-1}BP = \left(\begin{matrix} B_1 \\ & B_2 \\ & & \ddots \\ & & & B_s \end{matrix}\right)$$
因为 $B$ 可对角化,因此 $B$ 的最小多项式无重根。所以 $B_i$ 的最小多项式也无重根。因此 $B_i$ 可对角化,存在可逆矩阵 $Q_i$ 使得 $Q_i^{-1}B_iQ_i$ 为对角阵。令 $Q = diag(Q_1,\cdots,Q_s)$,$T=PQ$,则 $T^{-1}BT$ 为对角阵。$T^{-1}AT = diag(Q_1^{-1},\cdots,Q_s^{-1})diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s}) diag(Q_1,\cdots,Q_s) = diag(a_1 E_{n_1},\cdots,a_s E_{n_s})$.
即 $T$ 即为所求。

Jodan分解

每一个矩阵 $A$ 都可以唯一分解成 $A=B+C$, 其中 $B$ 可对角化,$C$ 幂零。且 $B,C$ 都可以写成 $A$ 的无常数项的多项式。
证明:首先对任意矩阵,我们有Jordan标准型:对任意矩阵 $A$,存在可逆矩阵 $P$ 使得
$P^{-1} A P = \left(\begin{matrix} J_1(\lambda_1) \\ & J_2(\lambda_2) \\ & & \ddots \\ & & & J_s(\lambda_s) \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda_1 E_{n_1} \\ & \lambda_2 E_{n_2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s E_{n_s} \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} J_1(0) \\ & J_2(0) \\ & & \ddots \\ & & & J_s(0) \end{matrix} \right)$

由于 $ J_i(\lambda_i) $ 的化零多项式为 $f_i(\lambda) = |\lambda - J_1(\lambda_1)|$。由中国剩余定理知。存在多项式 $f(\lambda)$ 满足 $f(\lambda) = \lambda_i (mod \; f_i),i=1,\cdots,s$ 且 $f(\lambda)= 0 (mod \lambda)$。此时
$$P^{-1} A P = \left(\begin{matrix} \lambda_1 E_{n_1} \\ & \lambda_2 E_{n_2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s E_{n_s} \end{matrix}\right) $$ 令 $$B = P \left(\begin{matrix} \lambda_1 E_{n_1} \\ & \lambda_2 E_{n_2} \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_s E_{n_s} \end{matrix}\right) P^{-1}$$
则 $B=f(A),C=A-B$ 即为所求。上面的$B,C$ 是唯一的,因为,若存在$B_1,C_1$ 也满足上述条件,则 $A,B,C,B_1,C_1$彼此交换,$B-B_1 = C_1 - C$ 是幂零的,因此 $B=B_1,C=C_1$。

Jordan 标准型将矩阵化成简单形式使得我们考虑很多问题都只需在标准型的情形分析。很多不明显的结论都能很清楚的给出答案。
对于Jordan分解,我们可以将一个矩阵分为所谓的半单部分和幂零部分,而由第二条结论知道,如果 $A_1,A_2$ 可交换,那么$A_1+A_2$ 的半单部分即为 $B_1+B_2$。这是很好的性质。或者说的更明了一点就是,如果 $A,B$ 可交换,且可以对角化,则$A+B$ 也可以对角化。

想到写这些完全是因为 Lie Algebra 忘掉 Lie 括号本身就是一个线性空间。