近期在整理 Lie Algebra 课的笔记，还是很喜欢这门课的，主要是本科时候矩阵玩的特别6，然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说，这些虽然很有技巧，但是你花时间都是可以处理的，会技巧没什么了不起，脑袋稍微好一点就能做这种事，长期技巧的训练其实意义并不大，应该更关注数学内部的东西，具体说就是一个代数对象的结构，分类，不变量，对象之间的同构。一个概念有哪些等价形式，与其它概念之间的关系，搞清楚这些更为重要，它们的证明只要大致知道怎么过来的就行。我们并不要把证明的细节放在心中，因为我们已经经过了多年的训练，相信我们通过大致步骤就能给出详细的证明，只是花的时间多少罢了。当然初学一个东西，去抠它的细节是无可厚非的。
以上纯属废话 0.0
定义
交换环 $K$ 上的模 $L$，以及一个运算 $L \times L \to L,(x,y) \mapsto [x,y]$ 称为 $x,y$ 的 Lie 括号，或交换子，称 $L$ 是 $K$ 上的 Lie Algebra 如果满足如下公理。
L1. $[\cdot,\cdot]$ 是双线性的；
L2. $[x,x]=0$ 对任意 $x \in L$ 成立；
L3. $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ (Jacobi 恒等式)
若$[L,L]=0$ 则上面结论显然成立，此时称为 Abelian Lie Algebra。令 $Z(L) = \lbrace x \in L \;|\; [x,L] = 0 \rbrace$
我们通常并不考虑如此一般情形下的 Lie 代数，一般我们令交换环 $K$ 是域 $F$，并且域 $F$ 很多时候要求是代数闭域，且特征为0。另外我们大多考虑 $L$ 是 $F$ 上的有限维线性空间。
子，理想，商，同态，表示等一系列的概念和其它代数结构几乎一致。基本上可以划入范畴中。另外单，半单，Radical等这些概念也于环里面的类似。
样板 Lie Algebra
对于 $V$ 是 $F$ 上有限维线性空间，用 $End V$ 表示 $V$ 到 $V$ 的线性变换全体按照元素的复合构成了 $F$ 上的线性空间且$dim End V = (dim V)^2$。也构成了 $End V$ 是一个结合F-代数。而任何结合代数都可以诱导一个 Lie 代数。定义 $[x,y]=xy-yx$ 即可。为了跟原来的代数区别，我们用 $\mathbb{gl}(V)$ 代替 $End V$，称为 general linear algebra。它在 Lie 代数中充当的角色很类似于置换群在群中的角色。我们知道半单Lie代数同构于$\mathbb{gl}(V)$ 的一个子Lie代数。
导子和伴随表示
我们称一个 $F-$代数 $A$（可以非结合）也可以借助导子(derivation)诱导一个Lie代数，称一个导子是指一个线性映射 $\delta: A \to A$ 满足 $\delta(ab)=\delta(a)b+a\delta(b)$。易知导子 $Der A$ 全体构成了 $End A$ 的一个子空间，由于 $[\delta,\delta’] \in Der A$，因此 $Der A$ 构成了 $\mathbb{gl}(V)$的一个子Lie代数。
由于Lie代数 $L$ 也是 $F-$代数,因此我们也可以定义 $Der L$。这是的导子本质上就是Jacobi恒等式的变形。
定义 $ad_x: L \to L,y \mapsto [x,y]$，实际上 $ad_x \in Der L$。$L \to Der L,x \mapsto ad_x$ 称为 $L$ 的伴随表示(adiont representation)。
可解和幂零
对于给定Lie代数 $L$，我们有理想降链
$L^{(0)} = L,L^{(1)}=[L^{(0)},L^{(0)}],\cdots,L^{(i)}=[L^{(i-1)},L^{(i-1)}],\cdots$。若存在 $n$ 使得 $L^{(n)} = 0$ 则称 $L$ 可解(slovable)。
- 若$L$ 可解，$L$ 的子代数和同态像可解
- $I$ 是 $L$ 的可解理想，若 $L/I$ 可解，则 $L$ 可解。
- $I,J$ 是 $J$ 的可解理想，则 $I+J$ 也是。
由上述性质可知，$L$ 有唯一的极大可解理想。即为 $Rad L$,若 $Rad L =0$ 则称之为半单的，等价于 $L$ 无非零abelian理想(充分性显然，必要性是因为 $Rad L$ 可解，考虑最后一个非0项必然是abelian理想矛盾)。另外 我们称 $x \in End V$ 半单，若 $x$ 的极小多项式无重根。
对于给定Lie代数 $L$，我们有理想降链
$L^0 = L,L^1=[L^0,L^0],\cdots,L^i=[L^{i-1},L^{i-1}],\cdots $。若存在 $n$ 使得 $L^{n} = 0$ 则称 $L$ 幂零(nilpotent)。
- 若$L$ 幂零，$L$ 的子代数和同态像幂零。
- 若 $L/Z(L)$ 幂零。则 $L$ 幂零。
- 若 $L$ 幂零且非0，则 $Z(L) \neq 0$。
显然由于 $L^{(i)} \subset L^i$ 因此幂零一定可解，但是反之则不尽然，例如 $\mathbb{gl}(V)$ 中对应的上三角矩阵全体构成的Lie代数。由Lie定理的推论知：
$L$ 可解的充要条件是 $[L,L]$ 幂零。
ad-nilpotent
$L$ 是一个Lie代数，$x \in L$, 称 $x$ ad-nilpotent 是指 $ad_x$ 幂零。
易知若 $x$ 幂零，则 $ad_x$ 幂零，但是反之不尽然。然而我们有Engel 定理：
$L$幂零当且仅当$ad L$ 幂零。
一些重要结果
这里罗列一些定理实际上就是搞清楚 Lie 代数中的一些问题和一些好的性质。
THM1. 设 $L$ 是 $\mathbb{gl}(V)$ 的子代数($L$ 中的元素可理解为矩阵)，$V$ 是有限维的，若 $L$ 中元素都幂零，则存在 $v \in V$ 使得 $L(v) = 0$.
上面结果是讲，$L$中元素都幂零，则 $L$ 有公共的$0$ 特征向量。证明是很有技巧性的。构造一个 codemension 为1的子代数，并证明它是 $L$ 不变子空间。然后数学归纳法完成证明。上面定理还说明我们可以取定一组基使 $L$ 同时严格上三角。
THM2. 若 $L$ 幂零，$K$ 是 $L$ 的非零理想,则 $K \cap Z(L) \neq 0$
THM3. 设 $L$ 是 $\mathbb{gl}(V)$ 可解子代数，$V$ 是有限维的，则存在 $L$ 存在公共特征向量。
上面定理还说明我们可以取定一组基使得 $L$ 同时上三角。
THM4. 若 $x \in EndV$，则存在唯一的分解 $x = x_s+x_n$，其中 $x_s$ 是半单的， $x_n$ 是幂零的，且 $x_s,x_n$ 都能表示成 $x$ 的无常数项的多项式。将其称之为 Jordan-Chevally 分解。
THM5. 若 $x$ 半单，则 $ad_x$ 半单。若 $x=x_s+x_n$是Jordan-Chevally 分解，则 $ad_x = ad_{x_s} + ad_ {x_n}$ 也是。$Der A$ 包含其元素的 半单部分和幂零部分。
THM6. $A \subset B \subset End V $，令 $M = \lbrace x \in \mathbb{gl}(V) \;|\; [x,B] \subset A\rbrace$。若 $x \in M$ 满足，$Tr(xy)=0$ 对任意 $y\in M$ 成立，则 $x$ 幂零。
THM7 $L \subset \mathbb{gl}(V)$，$V$ 是有限维的, 则 对任意 $x \in [L,L],\;y \in L$ 有 $Tr(xy)=0$ 当且仅当 $L$ 可解。
THM8 设 $L$ 是Lie代数，对任意 $x \in [L,L],\;y \in L$ 有 $Tr(ad_x ad_y)=0$ 则 $L$ 可解。
THM9 若 $L$ 是半单的，则 $L$ 可唯一写成单子理想的直和且$L=[L,L],Z(L)=0$ 且 $L$ 的理想和同态像都是半单的。
THM10 $ad L$ 是 $Der L$ 的理想，且若 $L$ 是半单的，则 $ad L = Der L$。