初中就学过最简单的均值不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},a ,b \geq 0$。它的证明只需配方就知道了，这里介绍一下一般的均值不等式:
$$ \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} \geq \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n a_i }$$
当 $n=1$ 时结论是平凡的，$n=2$ 时配方即知。$n=2^k$时不难用数学归纳法知，结论成立，下面主要看 $2^{k-1} <n< 2^k$的情况
令 $A = \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} $ 则，应用 $2^k$ 时的结论
$$ \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i + (2^k-n)A }{2^k} \geq\sqrt[2^k]{\Pi_{i=1}^n a_i A^{2^k -n}} $$
化简可得到结论。
上述证明简单优美，第一次在陈纪修《数学分析》(上)看到这个优美的方法。