数学老师想好了两个自然数 $m,n$ 满足 $2 \leq m \leq n \leq 100$ ,他把 $m,n$ 的和 $s$ 告诉了 $S$ 同学，把 $m,n$ 的积 $p$ 告诉了 $P$ 同学，他们都是聪明诚实的学生。进行了下面对话
$S$: 我不知道 $m,n$ 的值，但我知道你也不知道。
$P$: 现在我知道了。
$S$: 现在我也知道了。
请问 $m,n$ 的值。
- 由第一句话，我们知道 $s \geq 6$,且 $p$ 中无大于或者等于 53 的质因数。但是 $S$ 是如何知道的呢，可见 $s \leq 54$。对 数 $6 ~ 54$ 逐一检查发现，除了$A = \lbrace 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53 \rbrace$的其他元素外，其余每个数都可以表示成两个素数的和，因此从第一句话知道，$ s \in A$。
- 刚刚推理 $P$ 同学当然也能完成。由于 $A$ 中的元素全是奇数，因此，若 $p = 2^k \cdot (2v+1), k \geq 0, v \geq 0$ 或者 $p = 2^k \cdot (2v+1)(2j+1), k \geq 0, v \geq 0, j \geq 0$ 则 $P$ 同学就能确定的知道答案。
$S$ 同学最后也知道了 $m,n$ 的值，说明在 $s$ 所有分解 $s = m+ n, 2 \leq m \leq n \leq 100$ 中，且有一种满足 $xy = 2^k v$。
检查 $11 = 4+7 = 3+8$, $23 = 4 + 19 = 7+16$, $27 = 4+23 = 8+19$, $35=4+31=16+19$, $37 = 8+29 = 5+32$, $47= 4 + 43 = 16+31$, $51 = 4+47 = 8+43$。
又因为
$$ 29 = 4 + 25 = 13 +16,\; 41 = 4+37 = 16 + 25,\; 53 = 16 +37 = 21 + 32 $$
其中 $4 \times 25 = 100 = 20 \times 5$, $20+5 =25 \notin A$, $16 \times 25 = 400 = 80 \times 5$, $80+5 =85 \notin A$, $21 \times 32 = 672 = 7 \times 96$ ,$ 7+96 =103 \notin A$。
因此，只可能 $s=17$
$$ 17 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7 +10 = 8+9 $$
其中只有 $17 =4 + 13$ 满足 $P$ 的断言，因此 $m = 4,n=13$。此题是我高三（2011年）在《奥赛金牌之路》中所见，实在很吊，一直铭记于心,特此记录。