格点多边形面积公式 Pick's Theorem

Pick 定理: 顶点在格点上的简单多边形面积公式为
$$ S=i+\frac{j}{2}-1 $$
其中 $i,j,S$ 分别表示多边形内部的点数、边界上的点数、面积。下面给出清晰明了的证明方法。

与坐标轴平行的矩形(长方形)

不妨设矩形边长为 $a,b$。因此面积: $S = ab$
内部格点个数:
$$i=(a-1)(b-1)$$
边界格点个数为 $j=2(a+b)$, 结论成立。

直角边与坐标轴平行的直角三角形

不妨设直角三角形的直角边分别为 $a,b$,面积 $S=\frac{ab}{2}$。将其补成一个矩形,则两个直角三角形全等,设公共边的格点个数为 $e$,内部格点数 $i=\frac{(a-1)(b-1)-(e-2)}{2}$, 边界总格点数为 $j=e+a-1+b-1$,因此
$$ i+ \frac{j}{2} - 1 = (a-1)(b-1)/2 - (e-2) + \frac{e+a-1+b-1}{2} -1 = \frac{ab}{2}$$

一个简单多边形拆除两个简单多边形

若这两个简单多边形公共边上有 $c$ 个顶点,分别满足 Pick 定理。
设 $P$ 的面积为 $P_i + \frac{P_j}{2} - 1$
设 $T$ 的面积为 $T_i + \frac{T_j}{2} - 1$
则 $PT$ 的面积为:
$$ (T_i+P_i+c-2) + \frac{P_j-c+T_j-c+2}{2} - 1$$
也满足 Pick 定理。
类似地,若 $P,PT$ 满足 Pick 定理,$T$ 也满足。

三角形

对于一般三角形ABC,我们可以将其补在一个与坐标轴平行的矩阵(边长设为 $a,b$)中(如下图)
pick's Theorem
根据上面的结论,容易知道对于一般三角形,结论也成立。

简单多边形

需要说明的简单多边形是指,平面上边不相交的多边形。
由于每个 $n$ 边形,都可以拆成一个 $n-1$ 边形和一个三角形,因此易用数学归纳法证明结论对简单多边形成立。

传说中这个定理和有关Farey序列。