$k^n$ 最常见的拓扑自然是欧式拓扑，但是下面介绍的Zariski拓扑也是十分重要和“常见”的拓扑，并且它也保持了很多自然的性质，又有其独特的地方，值得了解一番。
详见 Jacobson《Basic Algebra 2》
Zariski Topology
给定一个交换环 $A$, $Spec(A)$ 表示 $A$ 的素理想全体构成的集合，带上一个 Zariski topology，拓扑中闭集为所有形式
$$ V(I)=\lbrace P \in Spec(A) | I \subset P \rbrace , I \subset A $$
的集合，那么它必然会满足拓扑关于闭集的公理。
$k^n$上的Zariski拓扑
由于 $k^n=\lbrace(a_1,a_2,\cdots,a_n)| a_i \in k \rbrace$ 到 $k$ 的多项式函数与 $k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 同构。所有 $k^n$ 上的拓扑本质上是由交换环 $k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 的Zariski 拓扑所确定。
$$V(S)=\lbrace (a_1,a_2,\cdots,a_n) \in k^n | f(a_1,a_2,\cdots,a_n) = 0 , \forall f \in S \rbrace$$
则有：
- $V(k[x_1,x_2,\cdots,x_n]) = \emptyset$; $V(\emptyset)=k[x_1,x_2,\cdots,x_n]$
- $ \cap_{i \in I} V(S_i) = V(\cup_{i \in I} S_i) $
- $V(S) = V(I(S))$; for ideals $I_1,I_2$, $V(I_1) \cup V(I_2) = V(I_1 I_2)$
所以，上述$V(S)$全体作为闭集构成了 $k^n$ 的一个拓扑，称为 $k^n$ 上的Zariski拓扑。
性质（设$k$是代数闭域）
- 拓扑基： $k^n$ 中开集有形式 $k^n \setminus V(S) = \cup_{f \in S} O_f$ 其中 $O_f = k^n \setminus V(f)$ 为开集。因此 $\lbrace O_f | f \in k[x_1,x_2,\cdots,x_n] \rbrace$ 构成了 $k^n$ 上的拓扑集
- $k^n$ 是 $T_1$ 空间。
- $k^n$ 是不可约空间，即有限个非空开集交集非空。
- $k^n$多项式映射在Zariski拓扑下连续。