前几天一个学弟告诉我,关于复数域上幂零矩阵$A$的一个充要条件:
$$A = AB-BA, \exists B \in M_n(\mathbb{C})$$
特此记录。
证明分几个小步骤。
必要性对若当块成立，若$A$为（上三角）若当块，那么取 $B = diag \lbrace 0,1,\cdots,n-1 \rbrace$ 即可，若 $A$ 为分块若当块（若当标准型），那么取对应的分块 $B$ 即可。又由于
$$ P^{-1} A P = P^{-1} A P P^{-1} B P -P^{-1} B P P^{-1} A P $$
因此，由对若当标准型成立,可知道对一般形式成立。$tr(A^k) = 0, 1 \leq k \leq n$,则 $A$ 幂零。
由若当标准型可知，只需证明
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \\
x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \cdots + x_n ^2 = 0 \\
\cdots \\
x_1 ^ n + x_2 ^n + \cdots + x_n ^n = 0
\end{cases}
$$
推出，$x_1 = x_2 = \cdots x_n = 0$， 不妨设
$$
\begin{cases}
x_1 t_1 + x_2 t_2 + \cdots + x_r t_r = 0 \\
x_1 ^ 2 t_1 + x_2 ^ 2 t_2 + \cdots + x_r ^2 t_r= 0 \\
\cdots \\
x_1 ^ r t_1 + x_2 ^r t_2 + \cdots + x_r ^r t_r = 0
\end{cases}
$$
其中 $x_i$ 互不相同，那么，假设$r>1$则由 Vandemode 行列式不为0知，$t_i = 0$ 矛盾，因此 $r = 1$ 此时 $x_i = 0$。$C = AB-BA$ 且 $AC = CA$ 则，$C$ 幂零。
$$ \forall k,tr (C^k) = tr(C^{k-1}AB - C^{k-1}BA) =tr(C^{k-1}AB) - tr(AC^{k-1}B) = 0$$ 因此由上面结论知，$C$ 幂零。- 由上面结论，充分性显然。