近期在整理 Lie Algebra 课的笔记，还是很喜欢这门课的，主要是本科时候矩阵玩的特别6，然后 Lie Algebra 可以认为是矩阵的推广版本。里面的证明技巧性相当强。我之所以喜欢数学很大程度与数学技巧有关。但是我的导师说，这些虽然很有技巧，但是你花时间都是可以处理的，会技巧没什么了不起，脑袋稍微好一点就能做这种事，长期技巧的训练其实意义并不大，应该更关注数学内部的东西，具体说就是一个代数对象的结构，分类，不变量，对象之间的同构。一个概念有哪些等价形式，与其它概念之间的关系，搞清楚这些更为重要，它们的证明只要大致知道怎么过来的就行。我们并不要把证明的细节放在心中，因为我们已经经过了多年的训练，相信我们通过大致步骤就能给出详细的证明，只是花的时间多少罢了。当然初学一个东西，去抠它的细节是无可厚非的。
以上纯属废话 0.0

最近在整理 Lie Algebra 内容时，里面提到了Jordan分解，这里就详细介绍并证明几个相关结果。

1. 若矩阵 $A,B$ 可交换，则它们有公共特征向量。
2. 若矩阵 $A,B$ 可以对角化，则它们可以同时对角化，当且仅当 $A,B$ 交换
3. 每一个矩阵 $A$ 都可以唯一分解成 $A=B+C$, 其中 $B$ 可对角化，$C$ 幂零。且 $B,C$ 都可以写成 $A$ 的无常数项的多项式。

Pick 定理: 顶点在格点上的简单多边形面积公式为
$$ S=i+\frac{j}{2}-1 $$
其中 $i,j,S$ 分别表示多边形内部的点数、边界上的点数、面积。下面给出清晰明了的证明方法。

有限整环是域，这是一个相当深刻的结论，该定理这叫 Wedderburn’s little theorem。介绍如下。

最近在读 Nathan Jacobson《Basic Algebra I》，理一下知识点。长期更新

Cartan-Brauer-Hua For a proper subset divison ring K of division ring L, if the unit group of K is a normal subgroup of the unit group of L, K is central.

华罗庚恒等式有两个，都看似奇怪但都有其深刻的应用(数学内部的)

1. 若在一个环中 $a,b,1-ab$ 都可逆，则
   $$
   \left( (a-b^{-1})^{-1} - a^{-1} \right)^{-1} = aba - a
   $$
2. 若在一个环中
   $$
   a = \left( b^{-1} - (a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right) \left (a^{-1} b^{-1}a-(a-1)^{-1}b^{-1}(a-1) \right)^{-1}
   $$
   上面两个恒等式直接验算即知，可是 华老 当初怎么想到这两个很奇怪的恒等式呢，怎么导入的，有什么应用呢？
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虽然我们从小学就开始学习自然数，但是自然数的真正严格的定义归功于1889年Giuseppe Peano 的工作。介绍如下: