It is evident true that there are at most 4 points are equal-distance in three dimention Euclidean Space.
What about other metric space? This ideal was first generated by my student Yilin Liu, and some results were obtained by us together.

In a Monoid, if an element is left and right invertible, then it is invertible.

Proof: By hypothesis we have
$$ a b = ca = 1 $$
hence we have
$$ b = cab = c$$
therefore $a$ is invertible.

多校训练 中有一道数论题，推导十分强大，特此记录。

上次已经写过了矩阵快速幂，这次再写的原因是因为此题hdu5451用了很多的黑科技，因此还是值得记录的。

Fermat平方和定理的表述为：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1。这个结论首次由 Euler 在 1747年给出证明。详细叙述如下：

在一个半群中，$a^n$ 的运算可以使用快速幂，即在不超过 $2log_2(n)$ 的运算下完成计算。

自然底数 $e$ 之所以重要，我想很大程度上是因为，指数函数 $f(x)=e^x$ 是“唯一”(在常数倍意义下)满足导数等于本身的函数。因此 $e$ 被叫做自然底数。

初中就学过最简单的均值不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},a ,b \geq 0$。它的证明只需配方就知道了，这里介绍一下一般的均值不等式:
$$ \frac{ \sum_{i=1} ^n a_i}{n} \geq \sqrt[n]{\Pi_{i=1}^n a_i }$$